Потребителски вход

Запомни ме | Регистрация
Постинг
16.01.2013 00:13 - Свещеният египетски триъгълник като фундаментална геометрична фигура на древността
Автор: pvdaskalov Категория: История   
Прочетен: 1022 Коментари: 0 Гласове:
6

Последна промяна: 21.01.2013 08:10

Постингът е бил сред най-популярни в категория в Blog.bg
СВЕЩЕНИЯТ ЕГИПЕТСКИ ТРИЪГЪЛНИК
 
         В постинга „КАК СА ПРОЕКТИРАНИ ЕГИПЕТСКИТЕ ПИРАМИДИ (ДА СИ ПОСТРОИМ ПИРАМИДА)” от 23.09.2012, приемам най-малкия Питагоров триъгълник със страни в отношение 3 : 4 : 5, наричан „свещен египетски триъгълник” (съкр. СЕТ), за основополагаща геометрична фигура в древноегипетската култура. Тук искам да припомня някои наблюдения, които съм направил в една моя статия, публикувана в списание „Проблеми на културата” през далечната 1985 година, бр. 4, с. 100-106 (с малки допълнения тук):
 
         ● Едва ли някой би оспорил катализиращата роля на трите знаменити константи на древността√2, π и φ.
         Хармоничната пропорция (известна още като: делене на отсечка в крайно и средно отношение, златно сечение, божествена пропорция) е била прилагана в строителството на пирамиди в Египет, в храмовото и общественото строителство в Древна Гърция, Рим, Ренесансова Европа, в скулптурата и живописта на всички времена. Тази пропорция има две съставни части: минор и мажор, сборът от които е равен на единица. За тях е в сила и релацията Мφ : мφ = 1 : Мφ, където мφ ≈ 0,382, а Мφ ≈ 0,618.
         Числото π, изразяващо отношението между диаметъра на окръжността и нейната дължина, има също хилядолетна история. Вавилонските писари го приемали кръгло 3, египетските строители (според папируса на Ринд) – 4(8/9)2. Архимед (287-212) установява, че то е заключено между рационалните числа 22/7 и 223/71. Брахмагупта (598 сл. Хр.-?) приема π = √10. По-късно в Китай бива открито и изненадващо точното приближение 355/113.
         Числото √2 представлява частното от дължините на диагонала и страната на квадрата.
         Докато древният свят извън класическа Гърция се задоволява да прилага тези три константи с някакво приближение, питагорейците, издигайки рационалните числа в култ, изживяват драматично сътресение при установяването на несъизмеримостта на страната и диагонала на квадрата. По-късно Аристотел пише в своята „Метафизика”: „... ако нещо не може да бъде измерено с най-малката мярка, предизвиква учудване (все още – б. м.).” Това откритие, равно по значение на неевклидовата геометрия на Лобачевски и теорията на относителността на Айнщайн,[1] се запазва в тайна няколко десетилетия, докато се разбере, че то е нов вид познание за света.
         При изследването на тракийски култови паметници от IV-III в. съм установил, че от Питагоровите триъгълници, прилагани при тяхното оразмеряване, най-предпочитан е бил СЕТ.
        СЕТ е най-малкият и твърде удобен за практически цели целочислен правоъгълен триъгълник, чиито катети 3 и 4 съвпадат с древните представи за строежа на Космоса – трите свята по вертикалата и четирите посоки в хоризонталната равнина. Достатъчни ли са обаче само тези две констатации, за да си обясним трайното му присъствие в култовото строителство от Египет до Тракия и от Китай и Индия до многоостровна Гърция и Рим? В търсенето на отговор се сблъскваме едновременно със споменатите три перли на древната геометрия: √2, π и φ.
         Радиусът на вписаната в СЕТ окръжност е 1. Изчислява се по формулата r = (a+bc) : 2, където a и b са катетите, а с – хипотенузата. Ъглополовящите се пресичат в центъра на вписаната окръжност и са равни съответно на √2, √10 ≈ π и √5 = 2Мφ + 1. И трите величини са ирационални, но докато √2 и Мφ са алгебрични числа (корени на уравнения с цели коефициенти) и могат да се получат и геометрично, π е трансцедентно число и следователно – непостроимо.
            √2 е изчисляван във Вавилон с голяма точност по известното правило за извличане на корен квадратен: √А = (Ао + А/Ао) : 2. При А = 2 и Ао = (a+b) : с се поучава изведената по метрични данни от гробницата при Свещари формула, потвърдена при гробницата при Казанлък, както и от броя и разположението на колоните в Партенона.
         Числото √10 е привличало вниманието на египетските геометри, което се потвърждава от непубликуван текст, споменат тенденциозно от М. А. Коростовцев, след като е разисквал правилото 4(8/9)2. Но тъй като за √10 рационалното число 19/6 е едно добро и практично приближение, невъзприето от египтяните, следва, че приближението 4(8/9)2 е постигнато по друг логически път, но пак в очертанията на СЕТ.
        
         ● Основната теорема, характерна за правоъгълните триъгълници, наричана Питагорова, се изразява с формулата а2 + b2 = с2. Или при СЕТ е изпълнено условието 32 + 42 = 52.
         Ако към страните 3, 4, 5 на СЕТ причислим и лицето му, равно на 6, ще възникне още една „красива” зависимост: 33 + 43 + 53 = 63.
         Сега ще покажа, че само от „съзерцание” на СЕТ (търсене на някакви зависимости между числата 3, 4 и 5) съм извел няколко серии Питагорови триъгълници:
        1.   
3, 4, 5   3+5=8,  4+5=9,  3+4+5=12 (82+92≈122; разлика 1)                           8+12=20,  9+12=21, 8+9+12=29  (202+212=292; точно)
 
20+29=49, 21+29=50, 20+21+29=70 (492+502=702; разлика 1)
49+70=119, 50+70=120, 49+50+70=169 (1192+1202=1692; точно) и т.н.     
        2.  
3, 4, 5   32= 4+5 Квадратът от най-късата страна е равен на сбора от другите две при разлика между тях единица. Следващите нечетни числа след 3 са 5, 7, 9, 11 и т.н.:
52=12+13; 72=24+25; 92=40+41; 112=60+61 и т.н.  
Т.е. производните Питагорови триъгълници са:
5,12,13 (52=122+132);  7,24,25 (72=242+252);  11,60,61 (112=602+612) и т.н.
        3.  
(Има и трета серия, но съм я забравил. Успея ли да я възстановя, ще я вмъкна тук.)
 
         ● Добре известно е, че редица древни народи възприемат числото 12 като пълен цикъл в своите космогонични учения.[2] Сборът от катетите и хипотенузата на СЕТ е равен на 12.
         Но числото 12 представлява и произведението от катетите на СЕТ (3.4). Вероятно по аналогия възниква идеята произведението 3.4.5=60 да залегне в основата на шестдесетичната вавилонска числена система.
        В потвърждение на казаното се явява и възприетото делене на кръга на 360о (3.4.5.6=360). Вавилонският феномен 360 се дели на всички числа до 10 без 7. Общият брой на делителите му е значителен – 23, което го прави изключително удобен за практически цели. Деленето на кръга на 360 градуса се оправдава и от това, че видимото денонощно преместване на Слънцето по еклиптиката е почти 1/360 част от нея. На второ място стои фактът, че средното аритметично от лунната година (354,37 дни) и слънчевата година (365,24 дни) е почти 360. Обаче в зората на човешката цивилизация за всяко сериозно начинание освен обективните причини са били търсени и свръхестествени импулси или предзнаменования. В това отношение СЕТ се е оказал най-благоприятната геометрична фигура, която била проанализирана задълбочено.
         Споменахме, че числото 360 има 23 делителя. В древните календарни системи обаче „привилегировано” положение имат онези делители, които произлизат от страните и лицето на СЕТ:
         3.4=12 и 5.6=30 – месеците и дните във вавилоно-египетския лунно-слънчев календар;
         3.4=12 и 3.4.5=60 – периодите в 60-годишния цикъл на китайския календар;
         4.5=20 и 3.6=18 – дните и месеците в календара на инките.
         Други календарни числа: 4.6=24 (часовете в денонощието; сезоните в китайския календар), 3.6=18 (Сароски цикъл), 5.6=30 (среден брой на дните в месеца; арабски цикъл на лунния календар),[3] 3.5=15 (римски индиктион).[4]
        
         ● Изследванията на А. В. Клименко
[5] потвърждават моята хипотеза, че СЕТ е изпълнявал катализираща роля в древната наука и изкуство, Систематизираните от него резултати за дължина на земния меридиан са кратни на 6000 стадия и са в отношение 3:4:5:6,666... Авторът доказва, че в елинистическа Гърция са се опитвали по-скоро да изчислят размерите на Земята, отколкото да ги измерят, както са постъпили халдейците и други древни народи.
 
         ● Към края на VI в. пр.н.е. се установява, че на хармоничните съзвучия отговарят определени рационални числа.[6] Без съмнение, присъствието на СЕТ и тук е засилило мистичната му слава. Плутарх пише, че „той е най-прекрасният от всички триъгълници”. И продължава: „Този триъгълник има вертикална страна от три единици, основна от
четири и хипотенуза от пет, чиято сила е равна на обхващащите го страни. Вертикалната страна трябва да се уподоби на мъжкото начало, основната на женското, а хипотенузатана родилото се от двете. Както Озирис е един вид началото, Изида – приемащата страна, а Хор – резултатът. Три е първото и съвършено нечетно число. Четири е повдигнатата на квадрат четна страна на тройката. Пет прилича отчасти на бащата, отчасти на майката, понеже се състои от тройка и двойка.”[7] Мотивите му не са ни известни, но можем да допуснем, че той е знаел или се е досещал за фундаменталната роля на СЕТ за неговите предшественици.
         У А. Ф. Лосев. История античной эстетики. М., 1969, СЕТ е наречен „триъгълник на живота” (с. 324).
 
 
 
 
 

[1] История на математиката, Т. I, С., 1974, с. 87-88.
[2] В. Н. Топоров. Первобытные представления о мире. – В: Очерки истории естественнонаучных знаний в древности, М., 1982, с. 125; А. Н. Немировский. Етруски. От мифа к истории, М., 1983, с. 169; Б. Динков. Етруската загадка, С., 1984, с. 81-83.
[3] С. И. Селешников. История календаря и хронология, М., 1980, с. 104, 109, 122.
[4] А. П. Пронштейн, В. Я. Кияшко, Хронология, М., 1981, с. 82-83.
[5] А. В. Клименко. Древнейшие определения размеров земли. – В: Развитие методов астрономических исследований, М. –Л., 1979, с. 70-83.
[6] Ив. Попов. Пропорции в българската архитектура, С., 1955, с. 29 и сл.; Ф. Кликс. Пробуждающиеся мышление. У истоков человеческого интеллекта, М., 1983, с. 282.
[7] Plut. DIO.56.(373f). Преводът на този пасаж от старогръцки е на проф. Богдан Богданов.
                 



Гласувай:
6
0



Следващ постинг
Предишен постинг

Няма коментари
Търсене

За този блог
Автор: pvdaskalov
Категория: История
Прочетен: 315973
Постинги: 290
Коментари: 1904
Гласове: 2677
Архив
Календар
«  Октомври, 2014  
ПВСЧПСН
12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031